來源：網(wǎng)絡(luò) | 2018-09-05 14:47:12
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1.若y=f(x)互為反函數(shù)，則f[g(x)]=x 若limf(x)存在，則limf(x)表示一個(gè)常數(shù)
x→x0 x→x0
例：已知limf(x)和limf(x)都存在，且f(x)=x^2+3xlimf(x)+2x^3limf(x)求f(x)
x→1 x→2 x→1 x→2 若當(dāng)x→x0時(shí)，或x→∞時(shí)，f(x)為無界變量，則當(dāng)x→x0或x→∞時(shí)，f(x)必定為無窮大量(此命題是錯(cuò)誤的)
例f(x)=x x為有理數(shù)
f(x)=1/x x為無理數(shù) 兩個(gè)無窮大量和必定為無窮大量(此命題是錯(cuò)誤的)
例x→0 (2-1/x)+(3+1/x)=5
5.若x→x0時(shí)，f(x)為無窮大量，則當(dāng)x→x0時(shí)ef(x)必定為無窮大量。(此命題是錯(cuò)誤的)
當(dāng)x→1時(shí)，1/(x-1)為無窮大量而lim1/(x-!)=∞ lim1/(x-!)= -∞
x→1+ x→1-
lim e^1/(x-!)=+∞ lime^1/(x-1)=0
x→1+ x→1-
6.若lim(un,vn)=0，則必定有l(wèi)im un=0或 lim vn=0
n→∞ n→∞ n→∞
(此命題是錯(cuò)誤的)
例un=1-(-1)^n vn=1+(-1)^n n=1,2….
U*v=0
因此lim(u,v)=0
但是u,v都存在
7.設(shè)對(duì)任意的x，總有Ф(x)≤f(x)≤g(x)且lim[g(x)-ф(x)]=0，則limf(x)必定
x→∞ x→∞
存在。(此命題是錯(cuò)誤的)
例設(shè)Φ(x)=(x^4-1)/x^2 f(x)=x^2 g(x)=(x^4+1)/x^2
則lim[g(x)-Φ(x)]=0 但limf(x) 不存在
x→∞ x→∞
8.若y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，則在點(diǎn)x0必可導(dǎo)。(此命題是錯(cuò)誤的)
例：y=∣x∣ 點(diǎn)x=0 處連續(xù)但不可導(dǎo)
已知f(x)=(x-a)g(x)，其中g(shù)(x)在點(diǎn)x=a的某鄰域內(nèi)有定義,則g(x)在x=a處連續(xù)，求fˊ(x)
9.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)必定可導(dǎo)。(此命題是錯(cuò)誤的)
例y=x^2/3在x=0處不可導(dǎo)
10.若f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0必定可導(dǎo)。(此命題是錯(cuò)誤的)
例：函數(shù)f(x)=(x^2-x-2)x^3-x不可導(dǎo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為多少?
11.設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則∣f(x)∣在點(diǎn)x=a不可導(dǎo)的充分條件是f(a)=0且f’(x)≠0
12.若limf’(x)=limf’(x)，則必有f’(x)=A(此命題是錯(cuò)誤的)
x→x0_ x→x0+
13.若f(x)為(a,b)內(nèi)的單調(diào)函數(shù)且可導(dǎo)，則f’(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。(此命題是錯(cuò)誤的)
例：y=x^3
14.若f’(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)也為單調(diào)函數(shù)。(此命題是錯(cuò)誤的)
y=x^2 y’=2x
15.若f(x)在點(diǎn)x0有直至n階導(dǎo)數(shù)，且f’(x0)=f’’(x0)=…f^(n-1)(x0)=0而f^(n-1)≠0(n2)
則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x0必為f(x)的極值點(diǎn);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x0不為f(x)的極值點(diǎn)。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線的拐點(diǎn)。
16.若x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，則點(diǎn)(x0,f(x0))必定不為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)(錯(cuò)誤)
例：y=∣xe^(-x)∣
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